TÜREV ALMA

1. Türevin Tanımı 1

a, b birer reel sayı olmak üzere,

fonksiyonu verilmiş olsun.

     

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x₀ daki türevi denir.

Ve f '(x₀), Df(x₀) ya da ile gösterilir. Buna göre,

     

x – x₀ = h alınırsa x ® x₀ için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

     

eşitliği de yazılabilir.

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

     

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

     

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

     

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

     

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

Sonuç

1. f '(a+) = f'(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.  2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.  3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.  4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xⁿ nin Türevi

     

2. c Sabit Sayısının Türevi

     

3. c × f(x) in Türevi

     

4. Toplamın Türevi

     

5. Farkın Türevi

     

6. Çarpımın Türevi

     

7. Bölümün Türevi

      

Sonuç

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

verilsin. olmak üzere,

     

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

      

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

     

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

     

Uyarı

f '(2) gösterimi [f(2)]' gösterimi ile karıştırılmamalıdır.       f '(2) ¹ [f(2)]' dir. Çünkü f '(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f '(x)  in x = 2 için değeridir. [f(2)]' gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]' = 0 dır.

Kural

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

     

Kural

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

     

Kural

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

     

Kural

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

fonksiyonu şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

     

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_x ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_y ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

     

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

     

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi olmak üzere,

f'(x) in türevi olan ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde, ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

Kural

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f^–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

     

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.

1. Türevin Tanımı 1

a, b birer reel sayı olmak üzere,

fonksiyonu verilmiş olsun.

     

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x₀ daki türevi denir.

Ve f '(x₀), Df(x₀) ya da ile gösterilir. Buna göre,

     

x – x₀ = h alınırsa x ® x₀ için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

     

eşitliği de yazılabilir.

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

     

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

     

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

     

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

     

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

Sonuç

1. f '(a+) = f'(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.  2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.  3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.  4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xⁿ nin Türevi

     

2. c Sabit Sayısının Türevi

     

3. c × f(x) in Türevi

     

4. Toplamın Türevi

     

5. Farkın Türevi

     

6. Çarpımın Türevi

     

7. Bölümün Türevi

      

Sonuç

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

verilsin. olmak üzere,

     

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

      

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

     

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

     

Uyarı

f '(2) gösterimi [f(2)]' gösterimi ile karıştırılmamalıdır.       f '(2) ¹ [f(2)]' dir. Çünkü f '(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f '(x)  in x = 2 için değeridir. [f(2)]' gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]' = 0 dır.

Kural

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

     

Kural

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

     

Kural

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

     

Kural

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

fonksiyonu şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

     

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_x ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_y ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

     

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

     

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi olmak üzere,

f'(x) in türevi olan ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde, ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

Kural

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f^–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

     

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir. 1. Türevin Tanımı 1 a, b birer reel sayı olmak üzere, fonksiyonu verilmiş olsun.       limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x0 daki türevi denir. Ve f '(x0), Df(x0) ya da ile gösterilir. Buna göre,       x – x0 = h alınırsa x ® x0 için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,       eşitliği de yazılabilir. 2. Türevin Tanımı 2 fonksiyonu için,       limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve       biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,       limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve       biçiminde gösterilir. f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur. Sonuç  1. f '(a+) = f'(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.  2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.  3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.  4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir. Uyarı Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir. TÜREV ALMA KURALLARI 1. xn nin Türevi       2. c Sabit Sayısının Türevi       3. c × f(x) in Türevi       4. Toplamın Türevi       5. Farkın Türevi       6. Çarpımın Türevi       7. Bölümün Türevi        Sonuç 8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi verilsin. olmak üzere,       f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir. Sonuç Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır. 9. İşaret Fonksiyonunun Türevi        10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi       11. Bileşke Fonksiyonun Türevi       Uyarı f '(2) gösterimi [f(2)]' gösterimi ile karıştırılmamalıdır.       f '(2) ¹ [f(2)]' dir. Çünkü f '(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f '(x)  in x = 2 için değeridir. [f(2)]' gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]' = 0 dır. Kural 12. Köklü Fonksiyonun Türevi       Kural 13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi       Kural 14. Üstel Fonksiyonun Türevi       Kural 15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi fonksiyonu şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere y = g(t) x = h(t) denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir. Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir. Bu durumda, y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.       16. Kapalı Fonksiyonların Türevi F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir. x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fy ile gösterelim. Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:       17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi       18. Ardışık Türevler y = f(x) in türevi olmak üzere, f'(x) in türevi olan ifadesine y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir. Benzer şekilde, ifadesine de y = f(x) in n. mertebeden türevi denir. Kural 19. Ters Fonksiyonların Türevi f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.       Kural Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.