BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,       bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B × C + K dir. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B) Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda A ve K değişmez. K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebilir. B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI 1. 2 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir. 2. 3 İle Bölünebilme Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. 3. 4 İle Bölünebilme Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür. ... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir. ... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir. 4. 5 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir. 5. 7 İle Bölünebilme (n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için, olmak üzere, (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... = 7k olmalıdır. Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının (...a5 a4 a3 a2 a1 a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir. Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan, (H + 3 × G + 2 × F) – (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandır. 6. 8 İle Bölünebilme Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür. 3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür. Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının (... abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 × b + 4 × a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir. 7. 9 İle Bölünebilme Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. 8. 10 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır. 9. 11 İle Bölünebilme (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için (a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k ve olmalıdır. Ü (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan (a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir. Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür. 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 2 × 3 = 6 ile de tam bölünür. 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 3 × 4 = 12 ile de tam bölünür. 4 ve 6 ile tam bölünen sayılar 4 × 6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal değildir. C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere, A nın C ile bölümünden kalan K1 ve B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun. Buna göre, A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir. A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir. A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir. D × A nın C ile bölümünden kalan D × K1 dir. AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir. Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur. D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM Bir A doğal sayısı B × C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B × C ile tam bölünür.) doğru olmayabilir. 144 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür. 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 × 6 = 12 ile tam bölünemez. E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir. a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere, A = am . bn . ck  olsun. Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz: A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir. A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,       (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir. A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir. A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,       2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir. A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır. A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,       A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur. A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,       – (a + b + c) dir. A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı,       A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: